Olá, Belmiro, Alberto.

Alberto localizou minha msg 47314, postada há sei quanto tempo.  E digo a Alberto que sim, minha posição a respeito continua a mesma, só que mais embasada. Durante a última semana reli aquele longo trabalho, fiz um revisão no linguajar e nos argumentos, de forma que, acho, ficou melhor.  A matemática é simples, de modo que qualquer um com um conhecimento básico pode ler o trabalho sem estar pulando coisas. Isto eu garanto.  Para quem interessar, replico essa nova versão que, infelizmente, ficou longa também, apesar de haver eliminado coisas que ora considero irrelevantes.  Mas explicar coisas como o falso paradoxo em poucas palavras não é fácil. Eu, ao menos, não consigo. Já explicações usando argumentos matemáticos ou resultados experimentais são evidentes por si mesmo. Nem precisaria, assim, de tantas palavras.

Muito bom  para quando estiverem com insônia e quiserem dormir logo.

Uma aviso:   garanto que a matemática usada não dói.

Apesar de não se tratar de um artigo acadêmico, ou sequer ser um, apresento algumas referências, para um eventuaL aprofundamento: 

Relatividade- C. MΦller, Oxford United Press.

Relativity, Thermodinamics and Cosmology - R.C. Tolman , Dover.

Special Theory of Relativity – V.A. Ugarov(esta, uma das melhores que conheço, sobre relatividade restrita).

Referência na web(recente, muito boa): http://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_los_gemelos

“Paradoxo dos Relógios - Uma solução via Princípio da Equivalência. Versão 1.

                                                                       Autor: José Victor

Resumo

Objetiva-se aquí fazer uma prova matemática, a partir de argumentos físicos, válidos, usando o Princípio da Equivalência e o Princípio da Relatividade de Todos os Movimentos, de que, verdadeiramente, não existe um tal Paradoxo dos Gêmeos, como defendem alguns estudiosos. A matemática usada será simples e accessível a qualquer um que tenha conhecimentos da matemática do segundo grau. Provas mais complexas, e mais rigorosas, usam outros recursos da TRG, mas serão abordadas em outra ocasião. Espera-se que a discussão a seguir seja suficiente para eliminar as interpretações inadequadas que frequentemente vêm à tona, a respeito deste tema. Ou, ao menos, fornecer um convencimento mais sólido, porque ancorada na única linguagem adequada à descriçãos da natureza: a matemática.

1  Considerações Iniciais

Creio que nenhum assunto da relatividade conduz a tantas divergências quanto o tal do Paradoxo dos Gêmeos, que NÃO é um verdadeiro paradoxo, ao contrário do que sustentam alguns teóricos. Não reconhecendo a quebra de simetria entre os movimentos dos dois sistemas, daquele que ficou em repouso e daquele que viajou, voltando ao ponto de partida, portanto, tendo sofrido acelerações, alguns estudiosos imaginam que as leituras dos relógios de um e de outro serão as mesmas, pelo que isto constitui um paradoxo, visto que se verifica que há uma diferença de registros, quantificada pelo fator de Lorentz-Einstein,

                                                                                 (1)

expressão esta que fica na dependência, em última análise, unicamente da velocidade relativa, , cestabelecida nos trechos onde não há aceleração, positiva ou negativa e desde que os intervalos de tempo, quando a partícula esteve acelerada, sejam desprezíveis, frente ao tempo em que se moveu com velocidade constante.

Dentro da teoria da relatividade, há diversos procedimentos matemáticos que permitem provar, de maneira indubitável, que não há paradoxo algum. Quer se considere R(gêmeo em repouso) e V(gêmeo em movimento), vice-versa,  os valores registrados pelos relógios de  e de  são os mesmos, em ambos os casos. Assim, com  em repouso e  em movimento, podemos escrever a conhecida fórmula da TR, ligando o intervalos registrados pelo relógio em movimento, (tempo próprio, relógio que acompanha o viajante), e pelo relógio estacionário, , da seguinte maneira:

                                                                          (2)

Sendo e os valores dos intervalos de tempo registrados nos relógios de R e V, respectivamente, para simplificar a escrita. Se imaginarmos que agora é R que está em movimento e que V está em repouso, deduziremos, sem ambigüidade alguma, que o relógio de V exibirá  a mesma relação acima!  Ou seja, tanto R como V encontrarão exatamente os mesmos valores, em conformidade com a expressão (2), retro. Assim, prova-se, dentro dos pressupostos da TRE, que não há paradoxo algum. Tudo é consistente.

1.1  comentários  e convenções

    1. Para a solução do paradoxo dos gêmeos há vários caminhos. Tanto se pode usar os recursos da TRE, e aqui há maneiras diferentes quanto a abordagem matemática, algumas nem sempre fáceis, ou os poderosos métodos da TRG, e aqui é preciso conhecer um novo formalismo matemático, o cálculo tensorial, que é a linguagem da natureza por excelência, onde o Princípio da Equivalência é o ingrediente principal.

2. Conceitos como tensor métrico, transporte paralelo, derivada covariante, tensor de Riemann, equação das geodésicas(ou equação de Newton para espaços curvos- mas ele não sabe disso, aviso) são usados largamente. É possível, também,  usar-se o Princípio da Equivalência, que permite a transição da TRR para a TRG, bem como os postulados da TRE para se chegar aos mesmos resultados, embora tenhamos que fazer algumas aproximações(em geral até segunda ordem), que, contudo, não invalidam a solução. É esta vertente que usarei neste esboço.

3. Em qualquer dos caminhos, todos os observadores envolvidos encontram os mesmos resultados: não há paradoxo. Quer se considere R e V em repouso ou em movimento, vice-versa, a relação entre os tempos registrados por ambos os relógios é exatamente a mesma.

4.  Adicionalmente, acrescento o seguinte: as situações onde as velocidades relativas têm influências relevantes sobre os corpos, onde as diferenças aparecem, são aquelas que envolvem partículas elementares, como múons, píons, káons, etc, que têm massa muito pequena, da ordem de algumas centenas da massa do elétron, mas ainda pequenas o suficiente para que atinjam velocidades relativísticas muito altas. Partículas assim são estudadas pela física das partículas e a elas são aplicadas os postulados da relatividade em toda sua pujança, com excelente acordo entre a teoria e a experimentação. Os exemplos que usamos, para discutir o mal afamado paradoxo dos gêmeos é muito irreal, pois nenhuma espaçonave chegará a velocidades onde os efeitos relativísticos sejam minimamente importantes. Mas imaginemos uma espaçonave do tamanho de um múon, sendo o relógio dessa espaçonave o próprio múon. Este, é um exemplo verdadeiramente realista. Mas, para efeitos dessa explanação, vamos falar sempre em Gêmeo R, que fica na terra, gêmeo V, que viaja em uma espaçonave, ficando convencionado  que isto é apenas por uma questão didática, numa tentativa para se compreender as sutilezas mostradas pela Natureza, nesse mister.

Assim, consideraremos uma dessas partículas elementares como uma espaçonave de R, o R sendo para indicar estacionário ou repouso e espaçonave de V, o V sendo para indicar em movimento ou viajante. Os conceitos de relógios e/ou observadores nas espaçonave de  e confundem-se com os próprios  e . Os relógios  e associados aos gêmeos  R e a V são absolutamente idênticos. Estimo que estas convenções ajudarão na compreensão dos esclarecimentos a seguir.

5.  Agora, imaginemos que, inicialmente,  e  estão no mesmo ponto, na Terra. A espaçonave de  parte do repouso, em  , com aceleração , e velocidade instantânea dada por:  enquanto o relógio R(espaçonave) fica em repouso. O observador em  , através de uma acelerômetro instalado em seu interior, detectará  que se encontra sob movimento acelerado;  qualquer que seja a aceleração, esta será denunciada pelo bendito acelerômetro. Para o gêmeo , seu irmão gêmeo  está sob uma aceleração . Inicialmente, consideraremos todas as medidas e observações do ponto de vista de , que está num sistema inercial.

6. Sejam as convenções a seguir, para tratar as variáveis que serão consideradas:

•   intervalos de tempo observados e registrados pelo relógio de R; intervalos de tempo observados e registrados pelo relógio de V. O segundo índice, é numérico, e se refere aos intervalos de aplicação, ou trechos de viagem,  de forças(motores ligados), sendo N=0,1,2,3 . Estimo que a exposição a seguir clarificará o uso.

1.2  hipóteses preliminares

1.  Após a partida, conforme item 1.1.3 acima, que acontece com aceleração , e decorrido um intervalo de tempo , no instante em que a velocidade atinge o valor u(t)= v,  V desliga os motores, pelo que a espaçonave desloca-se com velocidade constante v, a partir daí, durante um intervalo de tempo , computadas as viagens de ida e a de volta. Assim, para a ida, consideremos  /2.  Mesmo valor  de tempo na volta, em sentido contrário.

2.  Ao final do intervalo de tempo ,/2,   em que u permaneceu constante,   religa os motores, mas de tal modo que a espaçonave de V é, agora, desacelerada, vai ao repouso e é novamente acelerada,  com velocidade contrária,  até atingir a velocidade (-v), que permanecerá constante. Chamemos esse terceiro intervalo de tempo, para desacelerar até o repouso, onde       , acelerar de volta até (-v), de . A espaçonave  de V movimenta-se, agora, com velocidade (-), de volta. Como considerado mais acima, esse movimento, em sentido contrário, com velocidade (-v) ocorreu num intervalo de tempo igual a /2, igual ao primeiro intervalo, onde a velocidade constante foi (+v).

     (Tempo total com velocidade constante =)

3.  Ao fim desse terceiro intervalo,  (agora em sentido contrário),  religa os motores da espaçonave, de tal forma a espaçonave desacelera e vai ao repouso, havendo o reencontro com o irmão ,  no ponto de onde partiu, ocasião em que, finalmente, os relógios de  e de  poderão ter seus registros comparados. Chamemos este quarto intervalo de tempo de .

4.  Sejam agora e os tempos totais registrados pelos relógios de  e de , ao fim desse processo.

5.  O tempo total registrado pelo relógio em R será a soma dos intervalos parciais listados a cima, ou seja:

                (3)

Sendo que, por uma questão de simetria, objetivando simplificar as contas, sem perda alguma de generalidade, não havendo nenhuma outra razão além desta,  podemos fazer , pelo que a (3) fica

e os correspondentes intervalos registrados pelo relógio V serão, usando a mesma notação e as mesmas considerações:

                                                                              (5)

Isto posto, precisamos provar que , tanto do ponto de vista de  como do ponto de vista de , ou de qualquer outro observador, em qualquer sistema de referência.

Os registros serão tais que se verifica a relação entre os tempos totais, segundo o ponto de vista de qualquer um deles:  

que é a Eq.(2), desde que se considerem os tempos nos trechos onde u=g.t, ou seja,   muito pequenos, se comparados com o intervalos nos quais u(T)=v, v constante, intervalos estes que são:   Assim, podemos aplicar o que preconiza a TRE.

6.  Fazendo uma expansão binomial e conservando apenas as segundas potências, a Eq. (6) assume a seguinte forma, onde os termos relevantes são explicitados assim como os termos de potências iguais e superiores a 3 serão  representados por 0(3):

Considerando que a soma dos termos de potência igual e superior a 3 é negligenciável frente ao termo de segunda ordem, podemos escrever, com aproximação suficiente para estes propósitos:

                                                                                 (7)

Os muitos experimentos já realizados com as partículas mencionadas em 1.1.4(múons, píons, káons) mostram que as expressões acima, relacionando os tempos próprio() e impróprio() estão corretas, não havendo mais quaisquer dúvidas a respeito.

7.   Vejamos agora que resultados  obteria, se se considerasse em repouso. Então, em tais circunstâncias, para ,   é quem estaria em movimento.(Lembro que esta mudança de referencial não tem qualquer efeito sobre a física do problema!  Nada se altera. Um referencial não tem o poder de modificar, ou interferir, nos fenômenos físicos. Apenas descreve-os, de seu ponto de vista. E as leis da física que obtêm , em qualquer deles, resultam serem as mesmas. Vale sempre o Primeiro Postulado da Relatividade(PPR). (Por exemplo, é mais fácil e mais rápido descrever o potencial elétrico de um esfera carregada usando coordenadas esféricas do que usando coordenadas cartesianas. Referenciais só têm esta finalidade: facilitar as contas).

Ou seja, trata-se apenas de saber como  descreverá o “movimentoâ€� de R, pois, para o gêmeo  é  quem estará em movimento(e acelerado, mas só do ponto de viasta de  e não só isso, mas, principalmente, como quantificará os parâmetros associados ao movimento observa e que, para ele, , é real.  É isto que tentaremos clarificar, na seqüência).

8. Bem, para alcançarmos nosso objetivo, teremos de recorrer a um princípio adicional, como já adiantei mais acima., que é o Princípio da Equivalência(PE), um verdadeiro big bang da física, que estabelece o seguinte, de maneira bem simplificada:

•         Em um sistema fechado, onde não se pode olhar para fora, não se pode saber se um sistema está acelerado, com aceleração uniforme, por meio de alguma força externa,  ou se está sob os efeitos da gravidade.  Gravidade e aceleração são equivalentes.

9.   Esta é a maneira mais simples e mais direta de expressar uma verdade gigantesca, de profundas conseqüências físicas. Enunciados mais completos deste princípio poderão ser elaborados. Mas, em essência, é o que foi dito acima. Ou seja, gravidade(do tipo terrestre) e ace-leração(imposta por um motor de propulsão, por exemplo) são equi-valentes, em todos os sentidos, no que diz respeito às leis da física. Assim, se estivermos numa espaçonave, no espaço interestelar, longe de massas, tal que seus efeitos gravitacionais não sejam sentidos, e se os motores desta espaçonave imprimir a ela uma aceleração uniforme igual a g, não saberemos dizer se os efeitos que sentiremos serão devidos à aceleração imposta pelos motores ou se serão devidos a um campo gravitacional, tipo gravidade terrestre. É esta a essência, o fundamento principal da RG.

10. Antes de voltarmos ao problema inicial, façamos alguns comentários que julgo pertinentes aqui. Do ponto de vista de , como será o movimento de ?  Antes de responder, imaginemos o que nós próprios sentiríamos em um carro que, inicialmente, move-se com velocidade constante, e, de repente, o freio é usado, tal que uma desaceleração de módulo g seja aplicada pelos freios. Ou se, em dado momento, forçamos o acelerador, com gosto e boa vontade...

Este comentário é muito incompleto, evidentemente, mas dá uma idéia bastante intuitiva de como as coisas ocorrem, pois todos conhecemos os efeitos de uma aceleração. Só estamos tentando associá-la, como é para ser, à gravidade.

11. Voltemos, então, ao nosso problema inicial e consideremos os tempos envolvidos, dados nas Eqs.(3) e (4), quaisquer, e procuremos obter equações envolvendo estes parâmetros. Assim, poderemos analisar melhor os seus efeitos no escopo de todo o problema.

12. Na exposição que fizemos nos itens prévios, especificamente o tópico (1.2), o gêmeo  permanece em repouso na Terra, enquanto  viaja. Intervalos de tempo, por trechos, foram especificados, pelo que foram obtidas as equações (3) e (4). Até aí, tudo bem. 

13. Se consideramos agora que é V quem está em repouso, então, para ,  é que está em movimento, nas mesmas condições que ele, , se encontra, na realidade, só que com velocidades contrárias, como explicitado.

     Consideremos agora a aplicação do Princípio da Equivalência. Nos trechos do movimento onde a espaçonave está acelerada ou desacelerada, há um potencial gravitacional associado. Ou seja, Nos intervalos   e os intervalos correspondentes, segundo medido por V,  , há acelerações envolvidas, portanto campos gravitacionais, de módulo , segundo o Princípio da Equivalência.

     Consideremos, ainda, que  é pequeno o suficiente para que R não haja se afastado muito de V, ou seja, a distância entre eles seja pequena, de modo a considerarmos que os dois estão, neste intervalo, sob o mesmo potencial gravitacional.  A equação que relaciona os tempos de ocorrência de um mesmo evento, medido por relógios colocados em pontos do espaço de potenciais diferentes é:

    Se a diferença de potencial, ,  entre os pontos 1 e 2, no campo gravitacional for zero, então os relógios registrarão tempos iguais, para a mesma ocorrência. Assim, com tal hipótese, teremos:

     Pelo que, segundo a consideração acima,

pois  por hipótese.

14. Ao fim desse primeiro ,  detecta que a “espaçonaveâ€� de  atingiu uma velocidade , que os motores são desligados, e que  continua com velocidade constante , durante um intervalo de tempo . Ao fim deste segundo intervalo de tempo, os motores da “espaçonaveâ€� de R são religados, de modo que  “espaçonaveâ€� de R é desacelerada, vai ao repouso, acelera de volta, e atinge a velocidade contrária, (+v), no terceiro intervalo de tempo (tempo total para desacelerar ir ao repouso e acelerar em sentido contrário), pelo relógio de V.

16.  Com essa velocidade constante, (+v), após um intervalo de tempo igual também ao primeiro , ao fim do qual, novamente,   vê a “espaçonaveâ€� de  desacelerar desde a velocidade (+u) até o repouso, reencontrando-se com  V. E fecha-se o ciclo, terminando a “viagemâ€� de . O tempo total de ocorrência com velocidade constante foi  2,  no sentido contrário. Nestes dois intervalos, igualmente ao caso do movimento real, que foi o de , observado por , as velocidades envolvidas são constantes, estados de movimento inerciais, portanto.  Nos demais, as espaçonaves estiveram sob o efeito de acelerações, tanto do ponto de vista de  quanto de .

1.  Como, agora, é  que está “em movimentoâ€�, e  em “repousoâ€�, a relação entre os tempos registrados pelos relógios deles é, de acordo com a TRE,  para o trecho com velocidade constante, somente:

                                                                                      (9)

ou, expressando (segundo medido por ) em função de (segundo medido por ), teremos:

 Queremos verificar se, com as hipóteses feitas, e com o uso exclusivo dos postulados da relatividade, após compatibilzação das variáveis temporais envolvidas, se chegaremos a algo como a Eq.(7), que foi a encontrada por

  Expandido a Eq.(10), segundo Taylor, teremos, como no caso           anterior, onde valem as mesmas considerações já feitas:

                                                               (11)

Desprezando os termos com potências iguais ou speriores a 3, teremos:

                                                                           (12)

Ora, mas o tempo total registrado por R é, como dado pela Eq.(3):

onde, pelo enunciado do problema, e pelas simetrias envolvidas, devemos ter, conforme resultado em Eq. (8.2):